Inner Products Exercise 1 Let $\mathbb{R}^2$ have the weighted Euclidean inner product: $$ \langle u, v \rangle = 2u_1v_1 + 3u_2v_2 $$and let $u = (1, 1)$, $v = (3, 2)$, $w = (0, -1)$, and $k = 3$. Compute the stated quantities. $ \langle u,v \rangle $ $ \langle ku,w \rangle $ $ \langle u+v , w \rangle $ $ | v | $ $ d\langle u,v \rangle $ $ | u-kv | $ Exercise 2 Let $\mathbb{R}^2$ have the weighted Euclidean inner product: ...
Fonctions de plusieurs variables Exercice 1 : Continuité de fonctions de deux variables Étudier la continuité en $(0,0)$ des fonctions suivantes : $$f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{\sin{|xy|}}{x^2 + y^4}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^4y^4}{x^2 + 2xy + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ Exercice 2 : Différentiabilité de fonctions de deux variables Étudier la continuité et la différentiabilité des fonctions suivantes, puis lorsqu’elles sont différentiables, donner l’équation de leur plan tangent à la surface d’équation $z = f(x, y)$ en $(1,0,f(1,0))$ : ...
Séries numériques Exercice 1 : Calculs de séries Calculer les sommes des séries suivantes : $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} 3^{-2k+1} $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \sin(2ka)e^{-ka} $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{2^k} \quad \text{(plus difficile).} $$ Exercice 2 : Convergence de séries Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, pour : $$ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} $$ $$ u_n = \frac{\cosh n}{\cosh(2n)} $$ $$ u_1 = 0 \quad \text{et} \quad u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} - \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \quad \text{pour } n > 1 $$ $$ u_n = \frac{n!}{n^n} $$ $$ u_n = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ $$ u_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} $$ $$ u_n = \int_0^1 \sin \left( \frac{t}{n} \right) dt $$ $$ u_n = \frac{1}{\cos^2 n} $$ Exercice 3 : Convergence absolue Pour chacune des séries suivantes, dites si elle converge absolument et si les sommes partielles convergent. ...
Convergence et calcul d’intégrales impropres Exercice 1 : Convergence et calcul d’intégrales impropres Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes et, lorsqu’elles sont convergentes, calculer leurs valeurs. $$ \int_1^3 \frac{dt}{\sqrt{(t-1)(3-t)}} $$ Pour $ b > 0 $. $$ \int_0^b \ln(t) dt $$ $$ \int_1^{+\infty} \frac{e^{1/t}}{t^2} dt $$ $$ \int_0^x \frac{t \ln(t)}{(t^2+1)^2} dt $$ Exercice 2 : Convergences sans calcul Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes : $$ \int_1^{+\infty} e^{-t^2} dt $$ $$ \int_0^\infty \frac{\sin t}{1+t^2} dt $$ $$ \int_0^1 \frac{dt}{\ln t} $$ En fonction de $ \alpha \in \mathbb{R} $ ...
Équations Différentielles Exercice 1 : Applications Directes Résoudre les équations différentielles suivantes : $ xy’ + 2y = 4x^2 $, avec la condition initiale $ y(1) = 2 $. $ y’ \sin(x) - y = 1 - \cos x $. $ (1 - x^2)y’ + xy = 1 $. $ xy’ + y = y^2 \log(x) $. $ y’ + 2xy + xy^4 = 0 $. $ y - xy’ + \log x = 0 $. $ x^3y’ + (2 - 3x^2)y = x^3 $. $ y’ + y = y^2 (\cos x - \sin x) $. Exercice 2 : Équations du premier ordre à variable séparée On considère les équations de la forme : ...
Primitives Exercice 1 : Calculs d’intégrales Calculer : $$ \int_0^x t e^t dt. $$ $$ \int_1^e \frac{\ln t}{t} dt. $$ $$ \int_1^{e^2} \frac{dt}{t \ln t}. $$ $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \tan t dt. $$ $$ \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt. $$ $$ \int_0^1 e^t \cos t dt. $$ Pour $ x > 0 $, calculer : $$ \int_1^x \ln t dt. $$ $$ \int_0^x \cos^5 t e^t dt. $$ $$ \int_0^1 \sqrt{1 - t^2} dt. $$ Exercice 2 : Une famille d’intégrales Soit $ x \in \left] \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ $ et $ n \in \mathbb{N} $. On définit : ...
L’intégrale au sens de Riemann Exercice 1 : Fonctions d’intégrale nulle Donner un exemple d’une fonction $ f : [a,b] \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ intégrable, non identiquement nulle mais d’intégrale nulle. Montrer que si $ f : [a,b] \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ est continue et non identiquement nulle, alors son intégrale est strictement positive. Exercice 2 : Valeurs particulières et intégrales Soit $ f : [0,1] \to \mathbb{R} $ une fonction continue. ...
Développements en séries de Taylor Exercice 1 : Développements limités des fonctions paires et impaires Soit $ n \in \mathbb{N} $ et soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction de classe $ C^{n+1} $. Montrer que si $ f $ est paire, alors le développement limité en 0 de $ f $ à l’ordre $ n $ n’a que des termes de degré pair (et tous les termes de degré impair sont nuls). Montrer de même que si $ f $ est impaire, tous les termes de degré pair de son développement limité en 0 sont nuls. Exercice 2 : Calculs de développements limités Calculer les développements limités en 0 des fonctions suivantes, aux ordres précisés : ...
Definition of Vector Space Exercise 1: Double Additive Inverse Prove that $ -(-v) = v $ for every $ v \in V $, where $ V $ is a vector space. Exercise 2: Zero Product Property Suppose $ a \in \mathbb{F} $ (a field), $ v \in V $, and $ av = 0 $. Prove that $ a = 0 $ or $ v = 0 $. Exercise 3: Unique Solution to Vector Equation Suppose $ v, w \in V $. Explain why there exists a unique $ x \in V $ such that $ v + 3x = w $. ...
Derivatives Exercise 1 Using the definition, prove that if $f(x)=1/x$, then $f’(a)=-1/a^{2}$ for $a\neq 0$. Show that the tangent line to $f$ at $(a, 1/a)$ intersects $f$ only at $(a, 1/a)$. Exercise 2 Using the definition, prove that if $f(x)=1/x^{2}$, then $f’(a)=-2/a^{3}$ for $a\neq 0$. Show that the tangent line at $(a, 1/a^{2})$ intersects $f$ at exactly one other point, on the opposite side of the y-axis. Exercise 3 Prove that if $f(x)=\sqrt{x}$, then $f’(a)=1/(2\sqrt{a})$ for $a>0$. (Hint: Rationalize the difference quotient.) ...