Convergence et calcul d’intégrales impropres

Exercice 1 : Convergence et calcul d’intégrales impropres

Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes et, lorsqu’elles sont convergentes, calculer leurs valeurs.

  1. $$ \int_1^3 \frac{dt}{\sqrt{(t-1)(3-t)}} $$
  2. Pour $ b > 0 $. $$ \int_0^b \ln(t) dt $$
  3. $$ \int_1^{+\infty} \frac{e^{1/t}}{t^2} dt $$
  4. $$ \int_0^x \frac{t \ln(t)}{(t^2+1)^2} dt $$

Exercice 2 : Convergences sans calcul

Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes :

  1. $$ \int_1^{+\infty} e^{-t^2} dt $$
  2. $$ \int_0^\infty \frac{\sin t}{1+t^2} dt $$
  3. $$ \int_0^1 \frac{dt}{\ln t} $$

  4. En fonction de $ \alpha \in \mathbb{R} $

    $$ \int_0^\infty \frac{\sqrt{t+1}}{t^\alpha} dt $$

  5. Pour $ \alpha > 0 $

    $$ \int_0^1 \frac{\ln(1+t^\alpha)}{1-\cos t} dt $$
  6. $$ \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt $$

    Idée : remarquer que

    $$ \int_x^y \frac{\sin t}{t} dt = \frac{1-\cos y}{y} - \frac{1-\cos x}{x} + \int_x^y \frac{1-\cos t}{t^2} dt. $$

  7. Pour $ \alpha > 0 $

    $$ \int_0^1 \frac{\ln(1+t^\alpha)}{1-\cos t} dt $$
  8. $$ \int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{e^t -1}} $$

    Idée : remarquer que

    $$ \int_x^y \frac{\sin t}{t} dt = \frac{1-\cos y}{y} - \frac{1-\cos x}{x} + \int_x^y \frac{1-\cos t}{t^2} dt. $$

Exercice 3 : Intégrales de fonctions particulières

  1. $$ \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx $$ converge.
  2. $$ \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) dx $$
  3. $$ \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx $$
  4. $$ \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2 $$
  5. $$ \int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2 $$

Exercice 4 : Equivalences de fonctions non positives

Construire deux fonctions continues $ f,g : [0, \infty[ \to \mathbb{R} $ telles que $ f \simeq g $ en $ \infty $, que $ \int_0^\infty f(t) dt $ converge, mais que $ \int_0^\infty g(t) dt $ diverge.

Exercice 5 : Convergence et Calcul d’une Intégrale

  1. En étudiant la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R}_+ $ par

    $$ f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} $$

    montrer que $ \ln x < \sqrt{x} $.

  2. Montrer que

    $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}dx $$

    est convergente.

  3. Calculer

    $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1 + x^2}dx. $$

Exercice 6 : Une Famille d’Intégrales

Soit

$$ I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{\sqrt{1 - x^2}} dx, \quad \forall n \in \mathbb{Z}. $$
  1. Étudier la convergence de $ I_n $.
  2. Calculer $ I_0 $ et $ I_1 $.
  3. Pour $ n > 1 $, établir une relation entre $ I_n $ et $ I_{n-2} $, puis calculer $ I_n $.

Exercice 7 : La Fonction Gamma

Pour tout $ x > 0 $, on pose

$$ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt. $$

  1. Montrer que cette intégrale impropre est convergente pour tout $ x > 0 $.

  2. Montrer que pour tout $ x > 1 $, on a

    $$ \Gamma(x) = (x - 1) \Gamma(x - 1). $$

    En déduire la valeur de $ \Gamma(n) $ pour tout $ n \in \mathbb{N}, n > 0 $.

  3. Montrer que

    $$ \lim_{x \to 0^+} \Gamma(x) = \infty. $$

  4. Montrer que $ \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} $.
    On pourra admettre que

    $$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$

  5. Montrer que pour tout $ p > 0 $,

    $$ \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-pt} dt = \frac{\Gamma(x)}{p^x}. $$

  6. Montrer que pour tout $ x > 0 $,

    $$ \Gamma(x) = \int_{0}^{1} (\log(1/t))^{x-1} dt. $$

Exercice 8 : La Fonction Béta

Soient $ x, y \in \mathbb{R}_+^* $. On définit :

$$ \beta(x,y) = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1 - t)^{y-1} dt. $$
  1. Montrer que l’intégrale impropre est convergente si et seulement si $ x > 0 $ et $ y > 0 $.
  2. Montrer que $ \beta $ est symétrique, c’est-à-dire que $ \beta(x,y) = \beta(y,x) $.
  3. Donner une relation entre $ \beta(x+1, y) $ et $ \beta(x, y+1) $.
  4. Calculer $ \beta(x,1) $ et en déduire une formule pour $ \beta(x,y) $ lorsque $ x,y \in \mathbb{N}^* $.
  5. Montrer que
    $$ \beta(x,y) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2x-1}(\theta) \cos^{2y-1}(\theta) d\theta. $$