Développements en séries de Taylor
Exercice 1 : Développements limités des fonctions paires et impaires
Soit $ n \in \mathbb{N} $ et soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction de classe $ C^{n+1} $.
- Montrer que si $ f $ est paire, alors le développement limité en 0 de $ f $ à l’ordre $ n $ n’a que des termes de degré pair (et tous les termes de degré impair sont nuls).
- Montrer de même que si $ f $ est impaire, tous les termes de degré pair de son développement limité en 0 sont nuls.
Exercice 2 : Calculs de développements limités
Calculer les développements limités en 0 des fonctions suivantes, aux ordres précisés :
- $ x \mapsto \sin(x)\cos(x) $ à l’ordre 8.
(On pourra faire le calcul en multipliant les développements limités, puis le vérifier en utilisant une formule de trigonométrie.) - $ \cos \circ \sin $ à l’ordre 5.
- $ \tanh $ à l’ordre 4.
- $ \arcsin $ à l’ordre 4.
- $ \text{arsinh} $ à l’ordre 4.
Exercice 3 : Développements limités en d’autres points
- Déterminer le développement limité à l’ordre 5 de la fonction $ \sin $ en $ \pi/2 $.
- De même pour le développement limité de la fonction $ \log $ en 1 à l’ordre 5.
Exercice 4 : Limites de fonctions
Déterminer l’ensemble de définition puis la limite en 0 des fonctions suivantes :
- $$ \frac{\sin(t) - \sinh(t)}{t(\cos(t) - \cosh(t))} $$
- $$ \frac{t(\sin(t) - \sinh(t))}{\cos(t) + \cosh(t) - 2} $$
Exercice 5 : Limites de suites
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont :
- $$ u_n = n^2 (\cosh(1/n) - \cos(1/n)) $$
- $$ v_n = n \frac{\sinh(1/n) - \sin(1/n)}{\cosh(1/n) - \cos(1/n)} $$