Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1 : Continuité de fonctions de deux variables

Étudier la continuité en $(0,0)$ des fonctions suivantes :

  1. $$f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$
  2. $$f(x, y) = \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$
  3. $$f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$
  4. $$f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, \quad f(0,0) = 0.$$
  5. $$f(x, y) = \frac{\sin{|xy|}}{x^2 + y^4}, \quad f(0,0) = 0.$$
  6. $$f(x, y) = \frac{x^4y^4}{x^2 + 2xy + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$
  7. $$f(x, y) = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$

Exercice 2 : Différentiabilité de fonctions de deux variables

Étudier la continuité et la différentiabilité des fonctions suivantes, puis lorsqu’elles sont différentiables, donner l’équation de leur plan tangent à la surface d’équation $z = f(x, y)$ en $(1,0,f(1,0))$ :

  1. $$f(x, y) = x^2 y^2 \ln(x^2 + y^2), \quad f(0,0) = 0.$$
  2. $$f(x, y) = (x^2 + y^2) \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right), \quad f(0,0) = 0.$$
  3. $$f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$
  4. $$f(x, y) = xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$

Exercice 3 : Une fonction de deux variables

On définit $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ par :

$$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y \sqrt{x^2 + y^2}}{x^4 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (0,0) \end{cases} $$

  1. Étudiez la continuité de $ f $ en $ (0,0) $.

  2. Étudiez l’existence de dérivées partielles $ \frac{\partial f}{\partial x} $ et $ \frac{\partial f}{\partial y} $ en $ (0,0) $.

  3. Soit un vecteur $ u = (1, \alpha) $. Étudiez l’existence d’une dérivée selon le vecteur $ u $ en $ (0,0) $. Déterminez cette dérivée si possible.

  4. Étudiez la différentiabilité de $ f $ en $ (0,0) $.

  5. Étudiez la continuité de $ f $ en un point quelconque $ (x, y) \neq (0,0) $.

  6. La fonction $ f $ est-elle de classe $ C^1 $ ? Pourquoi ?

  7. Peut-il y avoir un extrémum (maximum ou minimum) en $ (0,0) $ ? Pourquoi ? (réponse courte !)

Exercice 4 : Étude de points critiques

Soit $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ la fonction définie par :

$$f(x, y) = x^2 - 2xy + \frac{y^4}{2}.$$

  1. Déterminer l’équation du plan tangent à la surface $ z = f(x, y) $ en $ (1,0,1) $.

  2. Déterminer l’ensemble des points $ (x, y) $ tels que $ df(x, y) = 0 $. Préciser s’il s’agit d’extrémum.

Exercice 5 : Décomposition des polynômes en éléments irréductibles dans $ \mathbb{C} $

On considère un polynôme à coefficients complexes :

$$ P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0, $$

avec $ n \geq 1, \ a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{C}, \ a_n \neq 0 $.
On va s’intéresser à la fonction $ f : z \mapsto |P(z)|^2 $ définie sur $ \mathbb{C} $, où $ \mathbb{C} $ est identifié avec $ \mathbb{R}^2 $.

  1. Montrer que :
$$ \lim_{r \to \infty} \min_{|z| = r} |P(z)|^2 = \infty. $$

  1. En déduire que $ f $ admet au moins un minimum local, en un point $ z_0 \in \mathbb{C} $. On va montrer que $ z_0 $ est nécessairement une racine de $ P $.

  2. On note $ Q(X) = P(X - z_0) $. Montrer que $ z \mapsto |Q(z)|^2 $ admet un minimum local en 0, et que 0 est une racine de $ Q $ si et seulement si $ z_0 $ est une racine de $ P $.

  3. Montrer qu’on peut écrire :

$$ Q = b_n X^n + \dots + b_1 X + b_0, $$

avec $ b_n \neq 0 $.

  1. Montrer qu’il existe un plus petit entier $ k \geq 1 $ tel que $ b_k \neq 0 $ mais que $ b_l = 0 $ pour $ 1 \leq l < k $.
    On le notera $ p $. Montrer qu’on a alors :
$$ Q = b_n X^n + \cdots + b_p X^p + b_0. $$

  1. On suppose maintenant que $ b_0 \neq 0 $. Montrer qu’il existe $ z_1 \in \mathbb{C} $ tel que pour $ t > 0 $ assez proche de 0, $ |b_p (tz_1)^p + b_0|^2 < |b_0|^2 $.

  2. En déduire que $ z \mapsto |Q(z)|^2 $ ne peut pas admettre de minimum local non nul en 0, puis que 0 est racine de $ Q $.

  3. Expliquer pourquoi ceci montre que $ P $ admet au moins une racine complexe.

  4. En déduire que si $ P \in \mathbb{C}[X] $ est un polynôme de degré $ n $ unitaire, il existe $ z_1, \dots, z_n \in \mathbb{C} $ tel que

$$ P = (X - z_1)(X - z_2) \cdots (X - z_n). $$

Exercice 6 : Laplacien

Soit $ f : U \subset \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R} $ de classe au moins $ C^2 $.
On appelle Laplacien et on note l’application :

$$ \Delta : f \mapsto \Delta f := \sum_{i=1}^p \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}. $$

On dit que $ f $ est harmonique lorsque $ \Delta f = 0 $.
Calculer le Laplacien des fonctions suivantes :

  1. $ f(x, y) = e^x \cos y $

  2. $ f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $

  3. $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} $

  4. $ f(x, y) = \ln \sqrt{x^2 + y^2} $

  5. Soit $ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \ (\rho, \theta) \mapsto (x, y) = (\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) $.
    Calculer :

    $$ \frac{\partial^2 f}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} $$

    d’une fonction $ C^2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \ (x, y) \mapsto f(x, y) $

Exercice 7 : Théorème des fonctions implicites

  1. Montrer que la relation :
$$ x^4 + y^3 - 2x^2 y - 1 = 0 $$

définit implicitement $ y $ en fonction de $ x $ au voisinage de $ (0, 1) $, puis donner un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui à $ x $ associe $ y $.

  1. Montrer que la relation :
$$ \sin x + y + e^x = 1 $$

définit implicitement $ y $ en fonction de $ x $ au voisinage de $ (0, 0) $, puis donner un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui à $ x $ associe $ y $.