Séries numériques

Exercice 1 : Calculs de séries

Calculer les sommes des séries suivantes :

  1. $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k $$
  2. $$ \sum_{k=0}^{+\infty} 3^{-2k+1} $$
  3. $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \sin(2ka)e^{-ka} $$
  4. $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{2^k} \quad \text{(plus difficile).} $$

Exercice 2 : Convergence de séries

Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, pour :

  1. $$ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} $$
  2. $$ u_n = \frac{\cosh n}{\cosh(2n)} $$
  3. $$ u_1 = 0 \quad \text{et} \quad u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} - \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \quad \text{pour } n > 1 $$
  4. $$ u_n = \frac{n!}{n^n} $$
  5. $$ u_n = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$
  6. $$ u_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} $$
  7. $$ u_n = \int_0^1 \sin \left( \frac{t}{n} \right) dt $$
  8. $$ u_n = \frac{1}{\cos^2 n} $$

Exercice 3 : Convergence absolue

Pour chacune des séries suivantes, dites si elle converge absolument et si les sommes partielles convergent.

  1. $$ \sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot 2^k}{3^{2k+1}} $$
  2. $$ \sum_{k \geq 1} \frac{k^5 \cdot 7^{6k}}{2^{k^2}} $$
  3. $$ \sum_{k \geq 0} \frac{1}{k^2 + 2k + 2} $$
  4. $$ \sum_{k \geq 1} \frac{k^2 + 1}{3k^3 - 2k} $$
  5. $$ \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} $$
  6. $$ \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k \cdot \sqrt{k}+1}{2k} $$

Exercice 4 : Un critère de convergence

On souhaite étudier la convergence de la série $ S(\alpha) := \sum_{n=1}^{+\infty} u_n $ lorsque $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ est une suite numérique positive vérifiant

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{\alpha}{n} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{n^2} \right), \quad \alpha \in \mathbb{R}. $$

  1. Pour $ (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} $, montrer que

    $$ \sum_{n=1}^{+\infty} v_{n+1} - v_n \text{ converge } \iff (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ converge}. $$

  2. Pour $ (v_n){n \in \mathbb{N}} $ définie par $ v_n = n^{\alpha} u_n $, montrer que $ (v_n){n \in \mathbb{N}} $ est convergente.

  3. Conclure sur la convergence de $ S(\alpha) $.