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Eigenvalues and Eigenvectors Exercise 1 Confirm by multiplication that x is an eigenvector of A, and find the corresponding eigenvalue. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) \( A = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) \( A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) Exercise 2 Find the characteristic equation, the eigenvalues, and bases for the eigenspaces of the matrix. ...

Lagrangeformalismus Aufgabe 1: Massenpunkt auf Kurve im Schwerefeld Ein Massenpunkt gleitet reibungsfrei auf der Kurve $z = f(x)$ in der $z$-$x$-Ebene unter Schwerkraft $F = -mg\mathbf{e}_z$. Stellen Sie die Lagrangegleichungen 1. Art auf. Aufgabe 2: Ablösung von Kugeloberfläche Ein Massenpunkt startet vom obersten Punkt einer Kugel und gleitet reibungsfrei ab. Bestimmen Sie mit dem Energieerhaltungssatz den Ablösepunkt. Aufgabe 3: Hantel auf konzentrischen Kreisen Zwei gleiche Massen $m$ sind durch eine Stange der Länge $L$ verbunden und bewegen sich reibungsfrei auf konzentrischen Kreisen mit Radien $r$ und $R$ ($R - r < L < R + r$). Unter Schwerkraft $g = -g\mathbf{e}_y$: ...

Inner Product Spaces Exercise 1 In each part, determine whether the set of vectors is orthogonal and whether it is orthonormal with respect to the Euclidean inner product on ℝ². $ (0, 1), (2, 0) $ $(- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ $(- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ $ (0, 0), (0, 1) $ Exercise 2 In each part, determine whether the set of vectors is orthogonal and whether it is orthonormal with respect to the Euclidean inner product on $\mathbb{R}^2$. ...

Inner Products Exercise 1 Let $\mathbb{R}^2$ have the weighted Euclidean inner product: $$ \langle u, v \rangle = 2u_1v_1 + 3u_2v_2 $$and let $u = (1, 1)$, $v = (3, 2)$, $w = (0, -1)$, and $k = 3$. Compute the stated quantities. $ \langle u,v \rangle $ $ \langle ku,w \rangle $ $ \langle u+v , w \rangle $ $ | v | $ $ d\langle u,v \rangle $ $ | u-kv | $ Exercise 2 Let $\mathbb{R}^2$ have the weighted Euclidean inner product: ...

Fonctions de plusieurs variables Exercice 1 : Continuité de fonctions de deux variables Étudier la continuité en $(0,0)$ des fonctions suivantes : $$f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{\sin{|xy|}}{x^2 + y^4}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^4y^4}{x^2 + 2xy + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ $$f(x, y) = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + y^2}, \quad f(0,0) = 0.$$ Exercice 2 : Différentiabilité de fonctions de deux variables Étudier la continuité et la différentiabilité des fonctions suivantes, puis lorsqu’elles sont différentiables, donner l’équation de leur plan tangent à la surface d’équation $z = f(x, y)$ en $(1,0,f(1,0))$ : ...

Séries numériques Exercice 1 : Calculs de séries Calculer les sommes des séries suivantes : $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} 3^{-2k+1} $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \sin(2ka)e^{-ka} $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{2^k} \quad \text{(plus difficile).} $$ Exercice 2 : Convergence de séries Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, pour : $$ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} $$ $$ u_n = \frac{\cosh n}{\cosh(2n)} $$ $$ u_1 = 0 \quad \text{et} \quad u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} - \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \quad \text{pour } n > 1 $$ $$ u_n = \frac{n!}{n^n} $$ $$ u_n = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ $$ u_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} $$ $$ u_n = \int_0^1 \sin \left( \frac{t}{n} \right) dt $$ $$ u_n = \frac{1}{\cos^2 n} $$ Exercice 3 : Convergence absolue Pour chacune des séries suivantes, dites si elle converge absolument et si les sommes partielles convergent. ...

Convergence et calcul d’intégrales impropres Exercice 1 : Convergence et calcul d’intégrales impropres Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes et, lorsqu’elles sont convergentes, calculer leurs valeurs. $$ \int_1^3 \frac{dt}{\sqrt{(t-1)(3-t)}} $$ Pour $ b > 0 $. $$ \int_0^b \ln(t) dt $$ $$ \int_1^{+\infty} \frac{e^{1/t}}{t^2} dt $$ $$ \int_0^x \frac{t \ln(t)}{(t^2+1)^2} dt $$ Exercice 2 : Convergences sans calcul Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes : $$ \int_1^{+\infty} e^{-t^2} dt $$ $$ \int_0^\infty \frac{\sin t}{1+t^2} dt $$ $$ \int_0^1 \frac{dt}{\ln t} $$ En fonction de $ \alpha \in \mathbb{R} $ ...

Équations Différentielles Exercice 1 : Applications Directes Résoudre les équations différentielles suivantes : $ xy’ + 2y = 4x^2 $, avec la condition initiale $ y(1) = 2 $. $ y’ \sin(x) - y = 1 - \cos x $. $ (1 - x^2)y’ + xy = 1 $. $ xy’ + y = y^2 \log(x) $. $ y’ + 2xy + xy^4 = 0 $. $ y - xy’ + \log x = 0 $. $ x^3y’ + (2 - 3x^2)y = x^3 $. $ y’ + y = y^2 (\cos x - \sin x) $. Exercice 2 : Équations du premier ordre à variable séparée On considère les équations de la forme : ...

Primitives Exercice 1 : Calculs d’intégrales Calculer : $$ \int_0^x t e^t dt. $$ $$ \int_1^e \frac{\ln t}{t} dt. $$ $$ \int_1^{e^2} \frac{dt}{t \ln t}. $$ $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \tan t dt. $$ $$ \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt. $$ $$ \int_0^1 e^t \cos t dt. $$ Pour $ x > 0 $, calculer : $$ \int_1^x \ln t dt. $$ $$ \int_0^x \cos^5 t e^t dt. $$ $$ \int_0^1 \sqrt{1 - t^2} dt. $$ Exercice 2 : Une famille d’intégrales Soit $ x \in \left] \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ $ et $ n \in \mathbb{N} $. On définit : ...

L’intégrale au sens de Riemann Exercice 1 : Fonctions d’intégrale nulle Donner un exemple d’une fonction $ f : [a,b] \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ intégrable, non identiquement nulle mais d’intégrale nulle. Montrer que si $ f : [a,b] \to \mathbb{R}_{\geq 0} $ est continue et non identiquement nulle, alors son intégrale est strictement positive. Exercice 2 : Valeurs particulières et intégrales Soit $ f : [0,1] \to \mathbb{R} $ une fonction continue. ...