Séries

Séries numériques Exercice 1 : Calculs de séries Calculer les sommes des séries suivantes : $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} 3^{-2k+1} $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \sin(2ka)e^{-ka} $$ $$ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{2^k} \quad \text{(plus difficile).} $$ Exercice 2 : Convergence de séries Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, pour : $$ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} $$ $$ u_n = \frac{\cosh n}{\cosh(2n)} $$ $$ u_1 = 0 \quad \text{et} \quad u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} - \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \quad \text{pour } n > 1 $$ $$ u_n = \frac{n!}{n^n} $$ $$ u_n = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ $$ u_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} $$ $$ u_n = \int_0^1 \sin \left( \frac{t}{n} \right) dt $$ $$ u_n = \frac{1}{\cos^2 n} $$ Exercice 3 : Convergence absolue Pour chacune des séries suivantes, dites si elle converge absolument et si les sommes partielles convergent. ...

Développements en séries de Taylor Exercice 1 : Développements limités des fonctions paires et impaires Soit $ n \in \mathbb{N} $ et soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction de classe $ C^{n+1} $. Montrer que si $ f $ est paire, alors le développement limité en 0 de $ f $ à l’ordre $ n $ n’a que des termes de degré pair (et tous les termes de degré impair sont nuls). Montrer de même que si $ f $ est impaire, tous les termes de degré pair de son développement limité en 0 sont nuls. Exercice 2 : Calculs de développements limités Calculer les développements limités en 0 des fonctions suivantes, aux ordres précisés : ...